线性递推
$LHR^2$
- 方法
- 首先解特征方程，求出每一个根包括重根
- 如果根都是不重复的,比如 $a_n$ = 6an-1-5an-2
- 解的 $r_1=1$, $r_2=5$
- 那么 $a_n$ = $\alpha_1(1)^n$+$\alpha_2(5)^n$
- 然后把 $a_0,a_1$带入方程算出 $\alpha_1$和$\alpha_2$的值
- 如果根是重复的。比如 $a_n$ = 6an-1-9an-2
- 解得 $r_1=3$, $r_2=3$
- 那么 $a_n$ = $\alpha_1(3)^n$+$\alpha_2n(3)^n$
- 也就是说，$\alpha$后出现了$n^0,n^1,n^2,n^3……$
- 然后把 $a_0,a_1$带入方程算出 $\alpha_1$和$\alpha_2$的值
$LNR^2$
方法
通项公式是 通解+ 特解
通解得算法就是抹掉常数项，然后解法和$LHR^2$一样
再计算特解
- 这里需要分类
- 如果常数项是 C(常数) 那么对应的就是 A
- 如果常数项是 n 那么对应的就是 $A_1n+A_0$
- 如果常数项是 $n^2$ 那么对应的就是 $A_2n^2+A_1n+A_0$ （以此类推）
- 如果常数项是 $r^n$ 那么对应的就是 $Ar^n$
- 这里需要分类
把F(n)化成一下格式再做判断 $F(n) =$ (bt $n^t$+bt-1nt-1+……+b1n+b0) $s^n$
If s is not a root of the characteristic equation of the associated LHR2, there is a particular solution of form. （待会会举例子）
- (pt $n^t$+pt-1nt-1+……+p1n+p0) $s^n$;
Else, s is a root of multiplicity m, the particular solution is of form
(pt $n^t$+pt-1nt-1+……+p1n+p0) $s^nn^m$ ;
例子1
$a_n$ = 3an-1-2n
step1: fi nd the solution for LHR2. The associated linear homogeneous equation is an = 3an-1. Its solution is an(h) = $\alpha3^n$ ,where $\alpha$ is a constant.
上标代表了homogeneous，是齐次方程组的通解
step2: 因为常数项是2n所以对应表中的 $A_1n+A_0$,所以 令pn = cn+d，然后带入原方程，得到 了这个cn+d= 3（ c(n-1)+d)+2n 要让(2 + 2c)n +(2d - 3c) = 0 解得 c = -1 and d = -3/2
$a_n = {a_n^p+a_n^h }=-n-1.5+ \alpha3^n$
最后带入求$\alpha$
例子2
- $a_n$ = an-1 +n
step1:The associated linear homogeneous equation is an =an-1. Its solution is an(h) = $\alpha1^n$ =$\alpha$ where $\alpha$ is a constant.
step2: F(n) = n = n(1)n, s=1 是 LHR2的一个根，所以说，这里有变化， 原来的pn = cn+d变成了 *n(cn+d)
- 再带入原方程n(cn+d)= (n-1)(c(n-1)+d)+n 解得 c=d=0.5
- $a_n = {a_n^p+a_n^h }=n(n+1)/2 + \alpha $
例子3
- $a_n$ = 2an-1+2n
- step1: an =2an-1 so an(h) = $\alpha(2)^n$
- step2: 这里常数项是(1)*2n 根据表内，对应$Ar^n$ 但是 因为2是 LHR2的一个根，所以说，这里有变化，变成了 A2nn
- 带入原方程 A2n+1(n+1) -2A2nn = 2n 解得A = 0.5
- $a_n = {a_n^p+a_n^h }=\alpha2^n $+ n2n-1
例子4
- an+2+3an+1+2an = 3n
- step1: r2+3r+2 = 0 (r+2)(r+1) =0; r = -1,r = -2 an(h) = $\alpha_1(-2)^n$+$\alpha_2(-1)^n$
- step2: 这里常数项是(1)*3n 根据表内，对应$Ar^n$ 因为3不是 LHR2的一个根，所以说，照常
- A3n+2+3A3n+1+2A3n = 3n $\Longrightarrow$ A = 1/20
- an(h) = $\alpha_1(-2)^n$+$\alpha_2(-1)^n$+1/20(3n)
结合下面的例子，我们可以更清楚的了解
