高等数学重积分

重积分

写在前面

• 终于等到这一天了，想到几天之后就要quiz的我头皮发麻
• 本来的笔记再oneNote上，但都是图片之类的。。煞是难看
• 只保存一些图片根本起不到学习的效果
• 算了，还是手敲公式⑧
• 五一结束希望能够写完，只写最重要的公式和例子，废话少说

二重积分的计算

利用直角坐标计算二重积分

当被积函数$f(x,y)\geq0$​且在D上连续时，若D为X型区域

$ D:\left{ \begin{aligned} \varphi_1(x)\leq y\leq \varphi_2(x)\a\leq x\leq b \end{aligned} \right. $

则

$\iintD f(x,y)dxdy = \int_a^bdx \int{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy$

若D 为Y-形区域

$$D:\left\{ \begin{aligned} \psi_1(x)\leq x\leq \psi_2(x)\\c\leq y\leq d \end{aligned} \right.$$

则

$\iintD f(x,y)dxdy = \int_c^ddy \int{\psi_1(x)}^{\psi_2(x)}f(x,y)dx$\

利用极坐标计算二重积分

用 $ x = rcos\theta和y =r\sin\theta$ 带入原方程

$$D:\left\{ \begin{aligned} \varphi_1(\theta)\leq r\leq \varphi_2(\theta)\\\alpha\leq \theta\leq \beta \end{aligned} \right.$$

则

$\iintD f(rcos\theta,rsin\theta)rdrd\theta = \int\alpha^\beta d\theta \int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}f(rcos\theta,rsin\theta)rdr$

特别的，对D：$D:\left\{ \begin{aligned} 0\leq r\leq \varphi(\theta)\\0\leq \theta\leq 2\pi \end{aligned} \right.$

$\iint_D f(rcos\theta,rsin\theta)rdrd\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\varphi(\theta)}f(rcos\theta,rsin\theta)rdr$

交换积分次序

• 有些积分是超越函数，并没有对应的原函数 。这是交换积分次序显得额外重要！

$\int1^3dx\int{x-1}^2 \sin y^2 dy$

交换机分次序的方法：先画出积分域，然后根据区域的形状来交换.有时交换积分域后编程了分段积分。这时候就更加依赖画图了。

交换 $\int0^\pi dx\int{-sin\frac{x}{2}}^{sinx}f(x,y)dy$ 的积分区域

画图得出区域需要分为 $D_1\cup D_2$,其中

$D_1 = {(x,y)|arcsin(y)\leq x\leq\pi-arcsin(y),0\leq y\leq 1}$

$D_2 = {(x,y)|-2arcsin(y)\leq x\leq\pi,-1\leq y\leq 0}$

所以 原式：$\int{0}^1dy\int{arcsin(y)}^{\pi-arcsin(y)}f(x,y)dx+\int{-1}^0dy\int{-2arcsin(y)}^\pi f(x,y)dx$

别忘了代换

二重积分对称性的重要结论

1. 若D关于y轴对称，那么
   1） 当f(x,y) 在D上为x的奇函数，有 $I = 0$ ;
   2) 当f(x,y) 在D上为x的偶函数，则有 $I = 2\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma$,
2. 若D关于x轴对称，那么
   1） 当f(x,y) 在D上为x的奇函数，有 $I = 0$ ;
   2) 当f(x,y) 在D上为x的偶函数，则有 $I = 2\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma$,

所以在展开的时候，我们先要把能化成0 的全部化成0，比如对于D为一个以原点为圆心的圆的时候，$\iint{\Sigma} (x+y-2)^2dS$ , 我们就可以先把其展开成$\iint\Sigma (x^2+y^2+4-4x-4y+2xy)~dS$ ,因为D关于x轴，y轴都对称。而 -4x，-4y，2xy都是关于x或y的基函数，所以他们的积分都是0，原式就可以简化为 $\iint_\Sigma(x^2+y^2+4)dS$

课本解答

三重积分的计算

• 先看看概念吧

利用直角坐标计算三重积分

投影法（“先1后2”）

$\Omega:\left{ \begin{aligned} z_1(x.y)\leq r\leq z_2(x,y)\0\leq \theta\leq 2\pi \end{aligned} \right.$

那么细长柱体微元的质量为

$(\int_{z_1(z,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz)dxdy$

该物体的质量就是：

$\iiint\Omega f(x,y,z)dv = \iint_D(\int{z_1(z,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz)dxdy$

就等于

$\iintDdxdy\int{z_1(z,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$

截面法（“先2后1”）

$\Omega:\left{ \begin{aligned}(x,y)\in D_z\0\leq \theta\leq 2\pi \end{aligned} \right.$

以$D_z $为底，dz为高的柱形薄片的质量为

$(\iint_{D_z}f(x,y,z)dxdy)dz$

那么该物体的质量就是

$\inta^b(\iint{Dz}f(x,y,z)dxdy)dz = \int_a^bdz\iint{D_z}f(x,y,z)dxdy$

三次积分法

区域 $\Omega:\left{ \begin{aligned} z_1(x.y)\leq z\leq z_2(x,y)\D:\left{ \begin{aligned}y_1(x)\leq y \leq y_2(x)\a\leq x\leq b \end{aligned} \right. \end{aligned} \right.$

利用投影法结果，把二重积分转化成二次积分得

$\iiint\Omega f(x,y,z)dv = \int_a^bdx\int{y1(x)}^{y_2(x)}dy\int{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$

小结

如果已经知道区域在平面上的投影，那么先一后二或者先二后一的方法更加方便。

比如求上下分别为球面$x^2+y^2+z^2=2$ 和抛物面 $z=x^2+y^2$ 所围的立体的体积。我们就可以用 $V=\iint dxdy\int_{x^2+y^2}^{\sqrt{2-x^2-y^2}}dz $

利用柱坐标计算三重积分

在柱面坐标系中得体积元素为

$dv = \rho d\rho d\theta dz $

因此 $\iiint\Omega f(x,y,z)dxdydz =\iiint\Omega F(\rho,\theta,z)\rho d\rho d\theta dz$

$\theta$摆在前，r摆中间, z 摆最后面

其中，$F(\rho,\theta,z)=f(\rho cos\theta ,\rho sin\theta,z)$

适用范围

• 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单
• 被积函数用柱面坐标表示时变量相互分离

利用球坐标计算三重积分

如图所示，在球面坐标系中的体积元素为

$dv = r^2 sin\varphi dr d\varphi d\theta$

因此有 $\iiint\Omega f(x,y,z)dxdydz =\iiint\Omega F(r,\rho,\varphi)r^2sin\varphi d\varphi d\theta dr$

$\theta$摆在前，$\varphi$摆中间,r 摆最后面

其中，$F(r,\theta,\varphi) = f(rsin\varphi cos\theta,rsin\varphi sin\theta,rcos\varphi)$

适用范围

• 积分域表面用球面坐标表示时方程简单
• 被积函数用球面坐标表示时变量相互分离

三重积分对称性的重要结论

1） 若积分区域 $\Omega$ 关于xOy 坐标面对称，且 $f(x,y,z)$ 是关于z的奇函数，则 $\iiint_\Omega f(x,y,z) dv = 0$

2） 若积分区域 $\Omega$ 关于xOy 坐标面对称，且 $f(x,y,z)$ 是关于z的偶函数，则 $\iiint\Omega f(x,y,z) dv = 2\iiint\Omega f(x,y,z) dv $

仿照上述结论，不难得出积分区域关于另外两个坐标面对称，以及被积函数关于另外两个变量的奇偶性的相关结论。

重积分应用

1. 能运用重积分解决的实际问题的特点
   • 所求量分布在有界闭区域上的整体量
   • 对区域具有可加性
2. 能用重积分解决问题的方法
   • 用微元分析法建立积分式
3. 解题要点
   • 画出积分域
   • 选择坐标系
   • 确定积分序
   • 定出积分限
   • 计算要简便

立体体积

曲顶柱体

曲顶柱体的顶为连续曲面 $z = f(x,y),(x,y)\in D$

其体积为 $V = \iint_Df(x,y)dxdy$

占有空间有界域$\Omega$的立体的体积为

$V = \iiint_\Omega dxdydz$

曲面面积

所以曲面面积公式

$A = \iint{D{xy}} \sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}d\sigma $

当光滑曲面的方程为$z = f(x,y)$ $(x,y) \in D_{xy} $

$A = \iint{D{xy}} \sqrt{1+(\frac{\delta z}{\delta x})^2+(\frac{\delta z}{\delta y})^2}dxdy$

光滑曲面的方程为 $y = f(z,x)$ $(z,x) \in D_{zx} $

$A = \iint{D{zx}} \sqrt{1+(\frac{\delta y}{\delta z})^2+(\frac{\delta y}{\delta x})^2}dzdx$

光滑曲面的方程为 $x = f(z,y)$ $(z,y) \in D_{zy} $

$A = \iint{D{zy}} \sqrt{1+(\frac{\delta x}{\delta z})^2+(\frac{\delta x}{\delta y})^2}dzdy$

当光滑曲面方程为隐式 $F(x,y,z)=0,F_z \neq 0 $

$\frac{\delta z}{\delta x}=-\frac{Fx}{F_z},\frac{\delta z}{\delta y}=-\frac{F_y}{F_z},(x,y)\in D{xy}$

物体的质心

当所求对象是三维立体时

密度为$\rho(x,y,z)$时

令每个个小区域的最大直径$\lambda \rightarrow 0$

• 一般不会让我们全部求。先考虑从对称性出发，把能变成0的都变成0

  $ \overline{x} = \frac{\iiint\Omega x\rho(x,y,z)dxdydz}{\iiint\Omega \rho(x,y,z)dxdydz}$

  $ \overline{y} = \frac{\iiint\Omega y\rho(x,y,z)dxdydz}{\iiint\Omega \rho(x,y,z)dxdydz}$

  $ \overline{z} = \frac{\iiint\Omega z\rho(x,y,z)dxdydz}{\iiint\Omega \rho(x,y,z)dxdydz}$

形心坐标：

当 $\rho = 常数$

$ \overline{x} = \frac{\iiint\Omega x dxdydz}{\iiint\Omega dxdydz}$

$ \overline{y} = \frac{\iiint\Omega y dxdydz}{\iiint\Omega dxdydz}$

$ \overline{z} = \frac{\iiint\Omega z dxdydz}{\iiint\Omega dxdydz}$

$ V = \iiint_\Omega dxdydz$

当物体时平面薄片时

密度为$\mu(x,y)$时

$ \overline{x} = \frac{\iint_D x\mu(x,y)dxdy }{\iint_D\mu(x,y)dxdy }=\frac{M_y}{M}$

$ \overline{y} = \frac{\iint_D x\mu(x,y)dxdy }{\iint_D\mu(x,y)dxdy }=\frac{M_x}{M}$

$M_x和M_y$分别时对x轴和对y轴的静矩

形心坐标 当 $\mu=常数$时

$ \overline{x} = \frac{\iint_D x dxdy }{\iint_D dxdy } $

$ \overline{y} = \frac{\iint_D x dxdy }{\iint_D dxdy } $

A = ${\iint_D dxdy }$ A是D的面积

我们要先求出A或者V ，再分别求出 $\iint_D xdxdy,\iint_D ydxdy$

物体的转动惯量

当对象是三维立体时

密度为$\rho(x,y,z)$时

因此物体对z轴的转动惯量：

$Iz = \iiint\Omega(x^2+y^2)\rho(x,y,z)dxdydz$

因此物体对x轴的转动惯量：

$Ix = \iiint\Omega(z^2+y^2)\rho(x,y,z)dxdydz$

因此物体对y轴的转动惯量：

$Iy = \iiint\Omega(x^2+z^2)\rho(x,y,z)dxdydz$

因此物体原点的转动惯量：

$IO = \iiint\Omega(x^2+z^2+z^2)\rho(x,y,z)dxdydz$

如果对象是平面薄片时

密度为$\mu(x,y)$时

物体对x轴的转动惯量：

$I_x = \iint_Dy^2\rho(x,y)dxdy$

物体对y轴的转动惯量

$I_y = \iint_Dx^2\rho(x,y)dxdy$

物体原点的转动惯量

$I_y = \iint_D(x^2+y^2)\rho(x,y)dxdy$

物体的引力

因此立体对象的引力分量

密度为$\rho(x,y,z)$

$Fx = G\iiint\Omega \frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{r^3}dv$

$Fy = G\iiint\Omega \frac{\rho(x,y,z)(y-y_0)}{r^3}dv$

$Fz = G\iiint\Omega \frac{\rho(x,y,z)(z-z_0)}{r^3}dv$

求平面薄片D 的引力分量

密度为$\mu(x,y)$

$F_x = G\iint_D\frac{\mu(x,y)(x-x_0)}{r^3}d\sigma$

$F_y = G\iint_D\frac{\mu(x,y)(y-y_0)}{r^3}d\sigma$

$F_z = G\iint_D \frac{\mu(x,y)(z-z_0)}{r^3}d\sigma$ 假设薄片在xOy平面上

其中G是引力常数，r 是点与点之间的距离