无穷级数

常数项级数的概念

引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积

依次作圆内接正$3 \cdot 2^n(n=1,2,\Lambda)$ 边形，设$a_0$表示内接正三角形的面积，$a_k$表示边数增加时增加的面积，则圆内接正$3\cdot 2^n$边形的面积为

$a_0+a_1+a_2+\Lambda+a_n$

当$n->\infty$时，这个和逼近圆的面积A，即$A=a_0+a_1+a_2+\Lambda+a_n$

引例2

引例3

定义

给定一个数列$u1,u_2,u_3..\Lambda,u_n,\Lambda$将各项依次相加。记为$\sum{n=1}^{\infty}u_n$

即$\sum_{n=1}^{\infty}u_n = u_1,u_2,u_3..\Lambda,u_n,\Lambda$

称上式为无穷级数，其中第n项 $un$叫做级数的一般项，级数的前n项和$S_n=\sum{k=1}^{n}u_k = u_1,u_2,u_3..\Lambda,u_n$ 称作级数的部分和

若$\lim\limits{n->\infty}S_n = S$存在，则称无穷级数收敛，并称S为级数的和记作$S=\sum{n=1}^{\infty}u_n$

若$\lim\limits_{n->\infty}S_n = S$不存在m,则称无穷级数发散

那么，当级数收敛时， $rn = S-S_n = u{n+1}+u{n+2}+\Lambda$ 为级数的余项，显然 $\lim\limits{n->\infty}r_n = 0$

例一：讨论等比级数（几何级数）

$\sum_{n=0}^{\infty}aq^n = a+aq+aq^2+\Lambda+aq^n+\Lambda(a\neq 0)$(q称为公比)的敛散性

例二：判断下列级数的敛散性

现在，我们只能通过前n项的和来进行判断

无穷级数的基本性质

性质1

级数各项乘以非零常数后其敛散性不变

性质2

性质3

在级数前面加上或去掉有限项，都不会影响级数的敛散性

性质4

收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和

级数收敛的必要条件

例题

例题

柯西审敛原理

解题方法

第一节的题目普遍比较简单。常常有这样的题形：

请用级数收敛发散的性质(定义) 判别下列级数的敛散性

那么我们可以用什么方法？

• 首先看看是否满足必要性。 必要性就是当n趋向无穷大的时候，单项是否趋于0，如果趋于零那么再做判断，否则直接写：“不满足级数收敛的必要条件，原级数发散”
  • 这里还要注意，如果级数是周期波动的，比如 $\sin\frac{\pi}{n}$ ，是没有固定极限的，所以也发
• 其次看看是不是可以拆分成两个级数，然后通过级数的性质判断：
  • 如果两个级数都是收敛的，其和其差一定是收敛的
  • 如果两个级数有一个是收敛的有一个是发散的，那么其和其差一定是放散的
  • 如果两个级数都是发散的，无法判断