幂级数

函数项级数的概念

例子：

幂级数及其收敛性

Abel 定理

$a_n$ 没有限定！

因为在 $|x|<|x_0|$ 的时候，幂级数是绝对收敛的，所以说条件收敛的点只可能是端点！

定理二

$\Sigma{n=0}^\infty a_nx^n$ 的收敛半径为$R = \lim\limits{n\rightarrow \infty} |\frac{an}{a{n+1}}|$

例题：

非标准型

幂级数的运算

定理3

定理4

题型

收敛区间问题

首先拿到题目看看他是标准型还是非标准型

如果是标准型

那么计算其中$a_n$是系数

计算出了R的值以后，我们就得到了收敛半径。但是我们仍需要验证端点。

验证方法

把端点带入，因为左右端点导致的结果可能不相同，所以需要分类讨论

端点带入后得到一个常数项级数，然后利用定义(趋向无穷是否等于0)或者常数项级数审敛法来判断是否收敛。

如果收敛那么就取闭，否则取开。

如果是非标准型

那么就回到常数项级数审敛法，判断该用哪个审敛法：

用完以后我们会得到一个带着x的式子，一般是$x^2$ 然后我们需要求这个式子等于1 的解，为什么？ 因为利用比值审敛法和根值审敛法得到的$\rho$ 都需要和1进行判断。

然后我们就解出x，这时候x就是端点。然后我们需要对端点带入进行判断验证

端点代入后得到一个常数项级数，然后利用定义(趋向无穷是否等于0)或者常数项级数审敛法来判断是否收敛。

变量代换

当形式不是$x^n$ 而是 $(ax+b)^n$ 形的时候，需要用一个变量代换。然后再按照上面的步骤解题

和函数问题

两个新的级数对应的收敛半径与原级数相同

解题步骤：

1. 先求收敛半径->求得收敛区间
2. 求和函数
   1. 求导
   2. 积分
   3. 列项
   4. 题除公因子
   5. 化为等比数列后求和/或者化成常见的泰勒展开后代换

注意事项：

每个求和都写几项，要清楚是从n=几开始的！！！

分母或者系数中有 几的n次方之类的，可以和x^n 合并，然后极限改成 $\lim\limits_{x->\lambda x}…$ 在解出和函数后把x带换成 $\lambda x$ （比如例题5）

例一

我们通过乘一个x或者除一个x，让幂次等于分母，这样就可以刚好消除。当然，提取出一个$\frac{1}{x}$ 之前首先要说明当x=0 的时候是什么情况，最后写成分类函数的形式

例二

没有分数，系数和幂次相差1(这里是n和n-1) 或者我们可以通过先提出一个数把格式化成能够积分的样子，然后用先积分再求导来做

例三

分母有n，同样用求导来做

例四

例五

练习册选题：

书本练习