函数展开成幂级数及其应用

泰勒级数

定理1

定理2

函数展开成幂级数

直接展开法

由泰勒级数理论可知，函数f(x) 展开成幂级数的步骤如下：

1. 求函数及其各阶导数在x=0 处的值；
2. 写出麦克劳林级数，并求出其收敛半径为R
3. 判别在 收敛区间（-R,R) 内 $\lim\limits_{n->\infty}R_n(x) $（余项）是否为0

展开为幂级数，也可以说是展开成麦克劳林级数

例题

1

2

3.

4.

5.

间接展开法

利用一些已知函数的展开式和幂级数的运算性质，将所给函数展开成幂级数

小结

我们可以利用这个拓展的二项式定理解决很多问题

又比如

解题步骤

展开为幂级数

低难度

如果是三角函数，那么通过降幂，转化等，化成 sin kx 的形式

如果是个复杂的分子式，我们需要因式分解，然后转化成 1/x+1 或者1/1-x 的形式

高难度

（9） $(1+x)ln(1+x)$

幂级数展开与和函数

展开为XXX的幂级数