矩阵的对角化
对角矩阵
假设 3阶矩阵A与对角矩阵 $\Lambda$ 相似，则存在可逆矩阵P，使得 $AP=P\Lambda$
令 $P=(p_1,p_2,p_3)$
则 $A(p1,p_2,p_3)=(p_1,p_2,p_3)\begin{pmatrix} \lambda {1} \ & \lambda {2} & \&& \lambda {3} \end{pmatrix}$
于是 ，$(Ap_1,Ap_2,Ap_3)=(\lambda_1p_1,\lambda_2p_2,\lambda_3p_3)$
$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ 是A的特征值
$p_1,p_2,p_3$ 是A的3个先行为无关的特征向量。
因此，我们可以得到这样一个命题：若n阶矩阵A与对角阵 $\Lambda=\begin{pmatrix} \lambda {1} & & \ & \lambda {2} && \& & \cdots\ & & &\lambda_n \end{pmatrix}$ 相似，则 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 是A的n个特征值
定理
n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是 A 有n个线性无关的特征向量
因此我们可以得到一个推论：如果n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A与对角矩阵相似
例子
现在我们来举几个例子，已知 $p=\begin{pmatrix} 1 \ 1\-1 \end{pmatrix}$ 是矩阵 $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \ 5 & a & 3 \ -1 & b & -2 \end{pmatrix}$ 的一个特征向量
1） 求a,b及p所对应的特征值
2）问A能否对角化
解： $Ap=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \ 5 & a & 3 \ -1 & b & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \ 1\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \ a+2 \b+1 \end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix} 1 \ 1\-1 \end{pmatrix}$
所以 $\frac{-1}{1}=\frac{a+2}{1}=\frac{b+1}{-1}$ 解得 $a=-3,b=0$
$A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \ 5 & -3 & 3 \ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$
$|A-\lambda E|=\begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 & 2 \ 5 & -3-\lambda & 3 \ -1 & 0 & -2-\lambda \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} -1 & \lambda ^{2}-2 \ -3-\lambda & -5\lambda-7 \end{vmatrix}=-(\lambda+1)^3$
所以 $\lambda=-1$ 是矩阵A的3重特征值
将$\lambda$ 带入矩阵，则 $A-(-1)E=\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \ 0 & -2 & -2 \ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 &1 \end{pmatrix}$
$R(A+E)=2$ 因此只能确定1个线性无关的解，即 $p=(1,1-1)^T$，从而A对应于3重特征值-1没有3个线性无关的特征向量，所以A不能对角化
对称矩阵的对角化
我们先来讨论实对称矩阵与特征向量的一些性质
- 实对称矩阵的特征值必为实数
- 属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的
对此矩阵的对角化定理
任何实对称矩阵都可以通过正交变换将其对角化
具体地说，设A是一个n阶实对称矩阵，则存在n阶正交矩阵P，使得
$P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda =\begin{pmatrix} \lambda {1} & & \ & \lambda {2} && \& & \cdots\ & & &\lambda_n \end{pmatrix}$
反之，设实矩阵A可以正交对角化：
$P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda$ , $A=P\Lambda P^T$,则A一定是对称矩阵： $A^T=(P\Lambda P^T)^T=(P^T)^T\Lambda^TP^T=P\Lambda P^T=A$
推论：n阶实对称矩阵A的每一个k重特征值恰好能确定k个线性无关的特征向量，即若$\lambda$ 是n阶矩阵A的k重特征值，则齐次线性方程组$(A-\lambda E)x=0$ 的解空间的维数是k，或者说其系数矩阵的秩 $R(A-\lambda E)=n-k$
将对称矩阵正交对角化的步骤
(1) 求出A的全部互不相同的特征值 $\lambda_1,\cdots,\lambda_m$ 设它们的重数分别是 $k_1,\cdots,k_m ~ (k_1+\cdots+k_m=n)$
(2) 求特征值 $\lambdai$ 所对应的 $k_i$ 个线性无关的特征向量，即，齐次线性方程组 $(A-\lambda_iE)x=0$ 的基础解系 $\xi{i1},\cdots,\xi_{ik}(i=1,\cdots m)$
(3) 用施密特正交化过程将 $\xi{i1},\cdots,\xi{iki}$ 正交化，再单位化，得A得属于特征值 $\lambda_i$ 得两两正交的单位特征向量 $p{i1},\cdots,p_{ik_i}$ 由
现在来举几个例子：
将对称矩阵 $A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \ -1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ 正交对角化
解： A的特征多项式
$|A-\lambda E|=\begin{vmatrix} -\lambda & -1 & 1 \ -1 & -\lambda & 1 \ 1 & 1 & -\lambda \end{vmatrix}=(\lambda+2)(\lambda-1)(1-\lambda)$
得到 $A$ 的特征值： $\lambda_1=\lambda_2=1,\lambda_3=-2$
$\lambda=1$ 带入得到 $A-E=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \ -1 & -1 & 1 \ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$-x_1-x_2+x_3=0 ,x_3=x_1+x_2$
所以 A对应的特征向量 $\xi_1=\begin{pmatrix} 1 \ 0\ 1 \end{pmatrix},\xi_2=\begin{pmatrix}0 \ 1\ 1 \end{pmatrix}$ 他们线性无关，但不正交。我们用施密特正交化过程将其正交化。
$\eta_1=\xi_1=\begin{pmatrix} 1 \ 0\ 1 \end{pmatrix},\eta_2=\xi_2-\frac{[\xi_1,\xi_2]}{[\xi_1,\xi_1]}=\begin{pmatrix} 0 \ 1\ 1 \end{pmatrix}-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \ 0\ 1 \end{pmatrix}$
$\eta_1,\eta_2$ 是A的属于特征值 1的两个正交的特征向量
$\lambda3=-2$ 时 $A+2E$ 最后化简得到 $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$：$\begin{cases}x{2}+x{3}=0\ x{1}+x_{3}=0\end{cases}$
对应的特征向量是 $\eta_3=\begin{pmatrix}1 \ 1\ -1 \end{pmatrix}$ $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ 两两正交
现在我们将三个向量单位化 : $p_1=\frac{\eta_1}{||\eta_1||}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \ 0\ 1 \end{pmatrix} ,p_2=\frac{\eta_2}{||\eta_2||}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}-1 \ 2\ 1 \end{pmatrix},p_3=\frac{\eta_3}{||\eta_3||}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1 \ 1\ -1 \end{pmatrix}$
所以最后的正交矩阵：
$P=(p_1,p_2,p_3)=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} &\frac{1}{\sqrt{3}} \ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$ $\Rightarrow P^{-1}AP=P^TAP=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$
对称矩阵对角化的应用
设有对称矩阵 $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \ -1 & 2 \end{pmatrix}$ 求 $A^n$
思路：先将A正交对角化，设有正交矩阵P, 使得 $P^{-1}AP=\Lambda$（对角矩阵）
则 $A=P\Lambda P^{-1}$ 得 $A^n= P\Lambda^nP^{-1}=P\Lambda^nP^T$